9位數學家、橫跨30余年、5篇論文共計800+頁……

幾何朗蘭茲猜想，終于被證明！

它是朗蘭茲綱領的幾何化版本。

朗蘭茲綱領被視為現代數學研究中最大的單項項目，被稱為“數學的大統一理論”。它提出數論、代數幾何、群表示論這三個獨立發展的數學分支之間其實密切相關。

費馬大定理被完全證明，就得益于對朗蘭茲綱領的應用。安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）對一小部分函數的數論朗蘭茲的關系的證明，就解決了困擾數學界300年的難題。

幾何朗蘭茲猜想作為朗蘭茲綱領的幾何版本，在上世紀80年代被提出。它提供了一種將數論方法和概念應用于幾何問題（反之亦成立）的框架。

利用該猜想，可以為數學、物理領域諸多懸而未決的問題提供新思路和工具。比如可以應用于量子場論和弦理論研究。

因此，當幾何朗蘭茲猜想被證明，無疑會轟動數學界。

主要研究朗蘭茲綱領的菲爾茲獎得主彼得·舒爾茨（Peter Scholze）將這一最新成果評價為“30年努力的巔峰”。

看到它能被解決真的太好了！

幾何朗蘭茲綱領創始人之一亞歷山大·貝林森（Alexander Beilinson）也表示：

這個證明真的非常美麗，是同類中最好的。

該研究由丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）領導完成。

9人團隊中，還包括中國學者陳麟。

他是清華大學丘成桐數學科學中心助理教授，曾在15歲時摘得IMO金牌。

幾何，朗蘭茲綱領的最后一環

朗蘭茲綱領的提出在1967年。

30歲的普林斯頓大學教授羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）給“數學的羅塞塔石碑”創始人安德烈·韋爾 (André Weil) 寄去了一封長達17頁的手寫信，信中向闡述了他的愿景。

（這里的“羅塞塔石碑”是一種比喻，指的是由數學家André Weil提出的一個數學領域之間的類比，這個類比把數論、幾何學和函數域這三個看似不同的數學領域聯系在了一起。）

朗蘭茲寫道，在“羅塞塔石碑”的數論和函數域中，有可能創建出傅里葉分析的推廣。

傅里葉分析是一種將復雜波形表示為平滑振蕩三角函數波的框架，是現代電信、信號處理、磁共振成像以及許多現代生活的基本技術。

類似于傅里葉分析中函數與其傅里葉變換之間的關系，朗蘭茲綱領通過在這三個領域中建立類似的“對應關系”將它們聯系起來。

傅里葉變換在波和頻譜之間來回轉換，朗蘭茲綱領當中也有相應的“波”和“頻譜”。

其中“波”的一面由某些特殊函數構成，“頻譜”的一面則由某些代數對象構成，用以標記“波”的頻率：

在數論中，函數是定義在p-adic數域或者阿德爾環上的特殊函數，代數對象是Galois群或者與之相關的群的表示；

在幾何中，函數是定義在黎曼曲面上的特征層(D-模)，代數對象是黎曼曲面基本群在某個代數群G上的表示；

在函數域中，函數是定義在曲線上的特殊函數，代數對象是Galois群或者與之相關的群的表示。

因此，朗蘭茲綱領提供了一個統一的視角，將數論、幾何、函數域這三個數學分支聯系起來，并由此帶來了一系列深刻而廣泛的數學問題和猜想。

通過朗蘭茲綱領的框架，許多傳統數論中的難題可以轉化為表示論或其他領域中的問題，從而以新的視角和工具加以解決，朗蘭茲綱領的思想和方法在許多具體的數學問題中得到了應用。

△羅伯特·朗蘭茲

例如，費馬大定理的證明就借鑒了朗蘭茲綱領中的思想，將橢圓曲線和模形式聯系起來，并最終通過這些聯系取得了成功。

除了數學本身，朗蘭茲綱領對物理學等其他學科也起到了重要作用，比如在量子場論和弦理論中，朗蘭茲綱領的某些思想和方法得到了應用。

其中，幾何朗蘭茲猜想不僅擁有更廣泛的應用和聯系，還提供了幾何視角的強大工具，因此在朗蘭茲綱領中顯得尤為重要。

但幾何朗蘭茲猜想證明的歷程也十分艱難，前后一共跨越了跨越30年，最終的證明工作從2013年才開始。

核心的證明內容，是關于黎曼曲面上的自相似性和對稱性的深層次對應關系。

再次借用傅里葉分析的模式來解釋的話，就是數學家們很早就了解了幾何朗蘭茲猜想的“頻譜”一側，但對“波”一側的理解則經歷了漫長的過程。

甚至在朗蘭茲剛提出這一綱領的時候，幾何部分根本沒有被包括在內，直到80年代，數學家弗拉基米爾·德林費爾德（Vladimir Drinfeld）意識到，通過用特征層替換特征函數，有可能創建一個幾何版本的朗蘭茲對應關系。

而幾何朗蘭茲猜想的精確表述，更是本世紀才出現——2012年，丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）與迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）一起，用一篇150多頁的論文給出了這一表述。

丹尼斯和阿林金指出，證明幾何朗蘭茲猜想的核心思想是找到一個等價關系，將代數曲線X上的G-叢（代數空間G上的纖維叢，其纖維是G的副本）的D-模（某些空間上的微分方程的解）范疇與朗蘭茲對偶群G^的局部系統的Ind-Coh范疇（包含了所有Ind-上同調對象）聯系起來，即：

2013年，丹尼斯寫下了幾何朗蘭茲猜想證明的草圖，但這個草圖依賴于許多尚未被證明的中間結果，此后的幾年，丹尼斯和他的合作者致力于證明這些結果。

2020年，丹尼斯開始思考如何理解每個特征層對“白噪聲”的貢獻，這一思想后來成為證明的關鍵部分。

這里的“白噪聲”指的是結合朗蘭茲猜想中的龐加萊層（Poincaré sheaf），作者以此類比是基于傅里葉變換中的正弦波。

2022年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的學生喬阿基姆·費爾格曼（Joakim Fergeman）證明了每個特征層都以某種方式貢獻于“白噪聲”，這一結果讓丹尼斯確信他們很快就能完成證明。

從2023年起， 丹尼斯、山姆以及其他7位合作者向幾何朗蘭茲猜想發起了最后攻關，最終的證明包含5篇論文，篇幅超過800頁，并于今年發表。

第一篇關于函子（functor）的構造，需要在特征為零的環境下，從自守（automorphic）到譜方向構造幾何朗蘭茲函子LG并證明其等價性，即能夠在兩個范疇之間建立一一對應的關系。

如果這一等價性能夠得到證明，那么就能說明幾何朗蘭茲猜想成立。

第二篇研究了Kac-Moody定位與全局的相互作用，證明了該函子在特定條件下確實是一個等價性函子，從而推進了幾何朗蘭茲猜想的證明。

第三篇起到了橋梁的作用，不僅將已知的等價性結果擴展到了更一般的情況，而且還通過Kac-Moody局部化技術，為理解幾何朗蘭茲函子與常數項函子的兼容性提供了關鍵的洞見。

同時，通過證明在可約譜參數下幾何朗蘭茲猜想的兼容性，這一篇論文為進一步證明不可約譜參數下的幾何朗蘭茲猜想奠定了基礎。

在第四篇論文中，作者們證明了一個關鍵的定理——Ambidexterity定理。這個定理表明，LG-cusp（可以視為LG在一個特定的、更小的范疇上的行為）的左伴隨和右伴隨是同構的，這是證明LG是一個等價性函子的重要步驟。

最后一篇論文則利用這一結論將猜想推廣到了一般情況，為曠日持久的證明工作畫上了句號。

兩代數學家合力攻堅

研究團隊由哈佛大學教授丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶魯大學教授山姆·拉斯金（Sam Raskin）領銜。

其余作者從左至右順時針方向分別是：達里奧·貝拉爾多（Dario Beraldo）、陳麟（Lin Chen）、凱文·林（Kevin Lin）、尼克·羅森布呂姆（Nick Rozenblyum）、喬阿基姆·費爾格曼（Joakim F?rgeman）、賈斯廷·坎貝爾（Justin Campbell）和迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）。

△圖源：Quantamagazine

值得關注的是，研究小組包括中國學者：陳麟。

陳麟，清華大學丘成桐數學科學中心助理教授。2016在北京大學取得學士學位，2021年博士畢業于哈佛大學，曾榮獲哈佛2020-2021優秀獎學金。

他曾在十幾歲時就展現出超強的數學天賦，12歲進入中國數學奧林匹克（CMO）競賽并獲得滿分，15歲進入國家隊并參加國際數學奧林匹克（IMO）競賽取得金牌。

陳麟長期研究幾何朗蘭茲綱領，他與該方向的結緣，正是來自丹尼斯·蓋茨戈里。

陳麟在此前采訪中透露，他是在丹尼斯的帶領下才進入幾何朗蘭茲這一領域。博士之前，他幾乎對幾何表示論一無所知，很多基礎知識都是在丹尼斯的指導下學習的。

博士畢業后，陳麟也一直參與丹尼斯和其他合作者的研究項目，有關全局的范疇化幾何朗蘭茲猜想。

完成猜想證明以及論文撰寫后，他還會繼續思考關于局部幾何朗蘭茲的問題。

實際上，朗蘭茲綱領吸引著諸多中國數學學者。北大黃金一代中的惲之瑋、張偉、袁新意、朱歆文，也正在攀登這一高峰。

參考鏈接：

[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/

[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061